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Una aventura personal hacia las redes complejas.


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2005-08-25

Ensembles

Por malambo en Invariancia.Sociología | 2005-08-25


Dado que ya sabemos cuantos grafos son posibles dados n nodos, es justo decir ahora que en las situaciones reales no todos los grafos son accesibles al sistema; por ejemplo, en una sociedad son extremadamente raros los grafos sin conectores (puesto que no representarían a una sociedad) o aquellos completos, es decir, los que tienen cada nodo conectado con todos los demás (existen actores que no se conocen o que nunca han establecido una comunicación). Con otras palabras, en una sociedad con n actores sólo una parte de las g = 2½n(n – 1) configuraciones posibles están disponibles. La tarea es saber cómo elegir esa fracción de estados (=grafos) accesibles al sistema dadas unas condiciones internas y otras de contorno.

Al conjunto de todos los grafos accesibles y la ponderación de cada uno de ellos respecto de los demás se le llama ensemble del sistema.

Una opción sería, por supuesto, elegir vínculos de un tipo (e.g., los de amistad) y para él medir en cada momento la estructura social (e.g., el conjunto de todos los vínculos establecidos entre amigos). Sin embargo, como nuestra vida es corta y nuestras capacidades limitadas, un número pequeño de mediciones (¡cualquier número queda pequeño ante la inmensidad de las potenciales combinaciones!) es imposible decir si en la ventana temporal elegida para hacer nuestras observaciones la probabilidad de un grafo que no apareció es baja o nula o, por el contrario, si uno que apareció dos veces no se debe a una fluctuación estadística. Por lo tanto, asignar una ponderación mediante el recurso de la observación de frecuencias relativas no es viable. Una forma usual de proceder es elegir arbitrariamente una ponderación de grafos y “ver qué pasa”, otra es permitir en primera instancia todos los grafos y luego seleccionar aquellos que se ajusten a ciertos parámetros del modelo.

El grado de un nodo es la cantidad de conexiones directas que establece dicho nodo con sus vecinos (la cantidad de conectores pertenecientes a la endoestructura que salen de él) y la distribución de grados es la cantidad relativa de nodos por grado. Así, la distribución de grados P = {2, 2, 1, 1} indica que hay dos nodos de grado 2 y otros dos nodos de grado 1.

Sabemos ahora que si bien es posible diseñar grafos con distribuciones arbitrarias (compatibles con las condiciones de conectividad), tanto en la naturaleza como en la sociedad se dan aquellas distribuciones que son una ley de potencias y que, como ya dije en mi segunda entrada, conduce a una Invariancia de escala (el nombre de esta casa naranja).

Por eso, una forma usual de seleccionar grafos (aunque no la única, claro) es admitir sólo aquellos que se ajusten a la ley de potencias medida en un sociosistema particular. Una distribución de grados que sigue la ley de potencias es de la forma Pk = βk–λ y lo que se mide en cada sistema es el exponente λ, β es un parámetro de normalización. Por ejemplo, la red cuyo nodo son actores de películas y sus vínculos las películas en las que colaboraron (dos actores estarán vinculados si y sólo si trabajaron juntos en alguna película) es λ = 2.3; para las llamadas telefónicas es λ = 2.1; para los mensajes vía e-mail, λ está entre 1.5 y 2.0 y para los contactos sexuales es λ = 3.2.

En síntesis: Uno va y mide el exponente λ en el sistema real y a partir de allí selecciona los grafos compatibles con ese parámetro (para {2, 2, 1, 1} hay 12 grafos, para {3, 1, 1, 1} sólo 4; Pregunta: Dada λ ¿cuántos grafos son compatibles con este valor?). A partir de estos grafos es posible determinar otras propiedades no medidas del sistema, como por ejemplo la probabilidad de que en el sistema se formen triángulos (los amigos de mis amigos son mis amigos) o estrellas (centros difusores).

Como había anticipado, λ no es el único parámetro medible, existen otros. A medida que aumentemos la cantidad de parámetros independientes conocidos en el sistema, la cantidad de grafos sobre los que promediar los valores de las propiedades de interés disminuye.


2005-08-25 17:05 | 0 Comentarios


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