Por malambo en Invariancia.Matemáticas | 2005-07-27
Los elementos básicos de una red compleja son dos: los
nodos y los
conectores. Por ahora, por simplicidad, supongámoslos términos primitivos(no definidos).
Cada nodo puede establecer contactos (vínculos, relaciones) con otros nodos. Tales contactos se representan, claro, con los conectores. Al número de contactos establecido por un nodo cualquiera se le llama
grado de dicho nodo y su valor es
k. La cantidad de nodos de grado
k,
N(k), dividida por la cantidad total de nodos
N se llama
distribución de grados de la red.
La
invariancia de escala es una de las características más importantes que tiene la
ley de potencias, una de las distribuciones de grados posibles de las redes.
Hay muchas maneras de "hacer crecer una red", quiero decir, dada una cantidad inicial de nodos, uno puede decidir arbitrariamente como conectarlos. O no tan arbitrariamente, depende de lo que quiera lograr. El juego actual de las ciencias de redes es proponer una forma de crecimiento de la red y ver que distribución de grados se obtiene para finalmente compararla con mediciones hechas en los sistemas rales.
Erdös y Rényi, que eran matemáticos y que no les importaba nada la contrastación con la realidad, comenzaron con uno de los modelos más sencillos de crecimiento: fueron conectando los nodos al azar.
Allá por 1959, cuando comenzaron con sus trabajos pioneros de lo que después sería la moderna ciencia de redes, Erdös y Rényi cogieron, digamos,
N=10 nodos (gráficamente representados por 10 puntos) al principio aislados y dispuestos en un círculo. Después fueron a comprar un dado y comenzaron a tirarlo una y otra vez sobre la mesa. Si les salía un 6, por ejemplo, entonces y sólo entonces, conectaban los nodos 1 y 2. Luego veían que pasaba con el nodo 1 y el 3 y así sucesivamente hasta terminar con todas las combinaciones posibles pero sin repetir ninguna.
Para
N=10 y
p=1/6 (que es la probabilidad de que salga un 6), el
grado medio <
k> de la red es 1.5 (¿que no?, pues haz la prueba muchas veces). Lo interesante, sin embargo, no es tanto el valor promedio de los grados, sino su distribución. El resultado es que un crecimiento al azar produce una distribución de grados tipo Poisson.
Lamentablemente, ni la de Poisson ni la de Gauss (tan querida por los físicos) reproducen las distribuciones de grados que se observan en la realidad real. Acá, en el mundo, tanto las redes biológicas (e.g., metabólicas), como sociales (e.g., redes de amigos) o tecnológicas (e.g., Internet y la Web) tienden a una distribución tipo
ley de potencias. Una ley de potencias es una función de la forma b
k-t (b, k y t reales).
Una función es invariante de escala, por su parte, si mantiene su forma ante un cambio de escala. Y hacer un cambio de escala significa cambiar la variable
x por
ax. Según sea el valor de
a mayor o menor que 1 estaremos aumentando o disminuyendo dicha escala, como cuando pasamos de milímetros a centímetros o viceversa.
Matemáticamente, que una función mantenga su forma ante un cambio de escala se expresa de la siguiente manera:
f(ax) = g(a) f(x) donde
g(a) es una función real arbitraria del parámetro
a.
Al primer miembro le hemos puesto la lupa mientras que al segundo no. Lo importante aquí es que las únicas soluciones de la ecuación anterior son las leyes de potencias, por lo que las expresiones "ley de potencias" e "invariancia de escala" están indisolublemente unidas.
Para un científico fáctico, entonces, encontrar los mecanismos de conexión entre nodos que reproduzcan redes invariantes de escala es de fundamental importancia. Esa será la tarea de este blog.
2005-07-27 02:02 | 6 Comentarios
